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超导量子综述阅读

超导量子学习

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论文阅读

  • A quantum engineer’s guide to superconducting qubits (link)
    • P. et. al.
    • Applied Physics Reviews
    • 2019-6-1
  • 为什么动量算符 $\overset{\wedge}{\operatorname*{p}} = \frac{\hbar}{i}{\frac{\partial}{\partial x}}$

待学习

LC谐振回路理论类比谐振子模型

广义动能：磁通量

广义势能：电场能量

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LC谐振电路：能量在电容 $c_{r}$ 的电能和电感 $L_{r}$ 的磁能中转换

因此定义

  1. 广义动能：电场势能

  2. 广义势能：磁能

遵循Hamiltonian描述

LC回路能量公式：

$$ E ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { t } V ( t ^ { \prime } ) I ( t ^{ \prime } ) d t ^ { \prime } \tag{1-1} $$

将电压随时间变化定义为一个flux：

$$ \Phi(t) = \int_{-\infty}^t V(t') dt' \tag{1-2} $$

因为在LC谐振电路中:

$$ V = L \frac{dI}{dt} \tag{1-3} $$
$$ I = C \frac{dV}{dt} \tag{1-4} $$

将 $\text{(1-1)}$ 、$\text{(1-2)}$ 带入 $\text{(1-3)}$ 、$\text{(1-4)}$ 得, 用

flux表示动能、势能

$$ \mathcal{T}_{C} = \frac{1}{2} C \dot{\Phi}^{2}, \tag{1-5} $$
$$ \mathcal{U}_{L} = \frac{1}{2L} \Phi^{2}. \tag{1-6} $$

[!NOTE]- 推导 $\begin{align} \mathcal{T}_{C} &= \int {cV \frac{dV}{dt}} \\ &= \frac{1}{2} C \dot{\Phi}^{2} \\ \mathcal{U}_{L} &= \int \frac{V^2}{L} dt \\ &= \frac{1}{2L} \Phi^{2} \end{align}$

$$ \begin{align} \mathcal{L}(Lagrangian) &= 动能 - 势能 \\ \mathcal{H}(Hamiltonian) &= 动能 + 势能 \end{align} $$

因此

$$ \mathcal{L}=\mathcal{T}_C-\mathcal{U}_L=\frac{1}{2}C\dot{\Phi}^2-\frac{1}{2L}\Phi^2. \tag{1-7} $$

第二项是 $\dot{\Phi}$ 对时间的定积分

$$ Q=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\Phi}}=C\dot{\Phi}. \tag{1-8} $$
$$ H=Q\dot{\Phi}-\mathcal{L}=\frac{Q^2}{2C}+\frac{\Phi^2}{2L}\equiv\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}LI^2, \tag{1-9} $$

为了满足量子力学描述

$Q\to P$

$\Phi \to x$

$C \to m$

$w = \sqrt{ LC }$

因此 $H$ 类似谐振子模型（见格里菲斯第二章谐振子模型）

$H=\frac{1}{2m}\left[p^2+(m\omega x)^2\right]. \tag{1-10}$

对易关系 $[\hat{\Phi},\hat{Q}]=\hat{\Phi}\hat{Q}-\hat{Q}\hat{\Phi}=i\hbar \tag{1-10}$

[!NOTE]- 对易关系推导 $[\hat{\Phi},\hat{Q}] = i\hbar$ 不一定准确，由公式 $\text{(1-8)}$ 可知，怎么说呢，表达不出来，类比的。但是我也不知道为什么动量算符要定义成那样。 应该也是在 $\Phi$ 表征空间下，求导

单个Cooper-pair能量

$$ E_{c} = \frac{e^2}{2C} \tag{1-11} $$

单个约化磁通量子能量

$$ \begin{align} E_{L} &= \frac{\left( \frac{\Phi_{0}}{2\pi} \right)^2}{L} \\ \Phi &= \frac{h}{2e} \end{align} \tag{1-12} $$

因此 $\text{(1-9)}$ 可以写为：

$$ H = 4E_{c}n^{2} + \frac{1}{2}E_{L}\phi^2 \tag{1-13} $$

[!tip]- Cooper-pair是一对电子，所以除以2

$\begin{align} n &= \frac{Q}{2e} \\ \phi &= \frac{2\pi\Phi}{\Phi_{0}} \end{align} \tag{1-14}$ 将 $\text{(1-14)}$ 带入 $\text{(1-10)}$ 得 $[\phi,n] = i \tag{1-15}$

将谐振子能级梯度定义引入（见格里菲斯第二章谐振子模型）

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二次量子化

$$ H=\hbar\omega_r\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right) \tag{1-16} $$

$a^\dagger$ 升阶算子（$a^+$）$a$ 降阶算子（$a_{-}$）

$$ a_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}} (\mp ip + m\omega x) \tag{1-17} $$
$$ [a_-,a_+]=1. \tag{1-18} $$

[!note]- 哈密顿量二次量子化推导 $\begin{align} H &= \hbar w_{r} \cdot \left( \frac{1}} \cdot (m^{2}\omega^2x^2+ p^{2} - im[x,p]) +\frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2m}\left[p^2+(m\omega x)^2\right] \end{align} \tag{1-19}$

因为归一化限制了最低能量，因此有 $n_{zpf}$ 和 $\phi_{zpf}$

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通常采用最低的两个本征态最为0、1态

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为什么要引入非线性量

从（b）图可知，标准的谐振子模型中，相邻两个态之间的能量差是恒定的。但是我们在Transmon中我们需要引入非线性的因子，来使得（d）图中 $\omega_{\mathbf{q}}^{0\to1}$ 和 $\omega_{\mathbf{q}}^{1\to {2}}$ 具有显著的差异来区分两个态

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Josephson junction（约瑟夫结）

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两边是超导体电机，中间是绝缘模

$$ I=I_c\sin(\phi) \tag{1-20} $$
$$ V=\frac{\hbar}{2e}\frac{d\phi}{dt} \tag{1-21} $$

解释电流

约瑟夫结推导挺复杂的

  1. 10.1016/0031-9163 (62) 91369-0 约瑟夫公式推导
  2. 10.1103/RevModPhys. 73.357 各种不同的约瑟夫结构造（好像之前看到约瑟夫结具体形状构造相关的研究-没看完）

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$$ H=4E_Cn^2-E_J\cos(\phi) \tag{1-22} $$
$$ V \propto n \propto i ( a - a ^ { \dagger } ) = \sigma_{y} $$
$$ I \propto \varphi \propto (a + a^{\dagger}) = \sigma_{x} $$
$$ \hat{H} = 4E_c (\hat{n} - n_g)^2 |n\rangle \langle n| - \frac{E_J}{2} \big( |n+1\rangle \langle n| + |n-1\rangle \langle n| \big) $$

其中 $E_{C} = \frac{e^{2}}{2C_{\sum}},C_{\sum} = C_{s} + C_{J}$，$C_{J}$ 为约瑟夫结本身电容

[!NOTE]- 简单推导 $\begin{align} H &= \sum \left( K(n_j) + U(\phi_j) \right) \\ &= 4E_{c}n^{2} - \int IVdt \\ &= 4E_Cn^2-E_J\cos(\phi) \end{align} \tag{1-23}$

The Transmon Qubit

相关论文

  1. [PDF] The Transmon Qubit \|Samuel James
  2. 超导量子比特与能级

为什么频率为3-6GHz

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对 $\text{(1-22)}$ 进行泰勒展开

$$ \hat{H}=4E_c\hat{n}^2-E_J\left(1-\frac{1}{2}\hat{\phi}^2+\frac{1}{24}\hat{\phi}^4\right) \tag{1-24} $$

能级公式（推导参考相关论文 2 附录C）

$$ E_n=-E_J+\hbar\omega_p\left(n+\frac{1}{2}\right)-\frac{E_c}{4}\left(2n^2+2n+1\right)\quad n=0,1,2... \tag{1-25} $$
由此定义Transmon的共振频率，也就是将该体系从 $0\rangle$ 和 $1\rangle$ 的对应频率，为
$$ \omega_{10} = \omega_{p} - E_{c} / \hbar \tag{1-26} $$

将 $E_{C} = 100-300 MHz$ 以及 $\frac{E_{J}}{E_{C}} \geq 50$ 带入 $\text{(1-26)}$ 得，$w_{10} = 3-6GHz$

[!tip]- 湮灭算子和产生算子作用 $\hat{a}_{-}{|N\rangle} = \sqrt{ N }|N-1\rangle$

$\hat{a}_{+}{N-1\rangle} = \sqrt{ N }N\rangle$

Qubit Hamiltonian engineering

Tunable qubit

dc-SQUID(dc superconducting quantum interference device)

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上图电路的哈密顿量：

$$ H=4E_Cn^2-\underbrace{2E_J\left|\cos\left(\varphi_e\right)\right|}_{E_J^{\prime}(\varphi_e)}\cos(\phi). $$

(懒得打了😭) $\varphi_{e} = \frac{\pi \Phi_{ext}}{\Phi_{0}}$

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==Asymmetric transmon==

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$$ H = 4 E _ { C } n ^ { 2 } - \underbrace { E _ { J \Sigma } \sqrt { \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { e } ) + d ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { e } ) } } _ { E _ { J } ^ { \prime } ( \varphi _ { e } ) } \cos ( \phi ) $$

$\text{where } E_{J\Sigma} = E_{J1} + E_{J2} \text{ and } d = \frac{\gamma - 1}{\gamma + 1} \text{ is the junction asymmetry parameter, with } \gamma = \frac{E_{J2}}{E_{J1}}.$

[!NOTE]- 推导 将等式带入电流方程，即可推导得到上式 $\phi_{a} = \frac {\phi_{a}+\phi_{b}}{2} + \frac {\phi_{a}+\phi_{b}}{2}$ $\phi_{b} = \frac {\phi_{a}+\phi_{b}}{2} - \frac {\phi_{a}+\phi_{b}}{2}$

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左图为对称频谱图，右图为非对称频谱图

非对称的可以将可调频率限制在一个范围

flux qubit and fluxonium（为了更大的失谐度）

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C-shunted Flux qubit能够降低噪声，提高相干时间

$γ < 2$ (double-well) 称为PCFQ

Interaction Hamiltonian engineering

耦合

下面transmon qubits只考虑四阶以下的项，只取0,1两个能级

波旋近似，只保留能量守恒的项（一升一降）

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将他看做三个谐振腔的能量加两个耦合能量，即得：

$$ H = \sum_{i=1,2} \left( \omega_i a_i^\dagger a_i + \frac{\alpha_i}{2} a_i^\dagger a_i^\dagger a_i a_i \right) + \omega_r a_r^\dagger a_r + g_{1r} \left( a_1^\dagger a_r + a_1 a_r^\dagger \right) + g_{2r} \left( a_2^\dagger a_r + a_2 a_r^\dagger \right) $$

噪声

噪声类型：

  1. systematic noise (系统噪声)：固定控制和读出控制偏差
  2. stochastic noise（随机噪声)：耦合参数的随机波动导致（负载热噪声）

密度矩阵

$\rho = \frac{1}{2}+\vec{a}\cdot \vec{\sigma}$

longitudinal relaxation rate：$\Gamma_{1} \equiv T_{1}$

transverse relaxation rate: $\Gamma_{2} = \frac{\Gamma_{1}}{2}+\Gamma_{\varphi}$

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三个轴指的是 $\vec{\sigma}={\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z}}$, 某个量子态围绕着 $\vec{n}$ 选择 $\theta$，乘以 $e^{-i\frac{\theta}{2}(\vec{n}\cdot \vec{\sigma})}$

密度矩阵：具体推导见（公式推导. pdf）

$$ \rho(t) = \begin{pmatrix} 1 + (|\alpha|^2 - 1)e^{-\Gamma_1 t} & \alpha\beta^* e^{i\delta\omega t} e^{-\Gamma_2 t} e^{-i\omega_q t} \\ \alpha^*\beta e^{-i\delta\omega t} e^{-\Gamma_2 t} e^{i\omega_q t} & |\beta|^2 e^{-\Gamma_1 t} \end{pmatrix}. $$

前提条件：所有状态松弛到基态

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其中 $\Gamma_{1\uparrow}=\exp(-\hbar\omega_\mathrm{q}/k_\mathrm{B}T)\Gamma_{1\downarrow}$

Ps: 在温度为 $T$ 的热环境中，量子比特能级差为 $\hbar \omega_{q}$，其平衡例子分布服从玻尔兹曼分布。升粒子等于降粒子数量，才能平衡，即可推导

因为系统处于低温，因此 $\Gamma_{1\downarrow}$ 占主要贡献

参考文献

[1] Krantz P, Kjaergaard M, Yan F, et al. A quantum engineer’s guide to superconducting qubits[J]. Applied Physics Reviews, 2019, 6 (2): 21318.

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